Analysis III
zum Anfassen.

Eine Abbildung \(f: X \to X\) heißt Kontraktion, wenn es ein \(\lambda < 1\) gibt mit \(d(f(x), f(y)) \le \lambda\, d(x,y)\) für alle \(x, y\). Je zwei Punkte rücken bei jedem Schritt um mindestens den Faktor \(\lambda\) zusammen. Ist \(X\) vollständig, besitzt \(f\) genau einen Fixpunkt \(x^* = f(x^*)\) – und die Iteration \(x_{n+1} = f(x_n)\) läuft von jedem Startwert dorthin.

Das ist mehr als ein Existenzsatz: Er liefert ein Verfahren und gleich die Fehlerschranke \(d(x_n, x^*) \le \frac{\lambda^n}{1-\lambda}\, d(x_1, x_0)\).

Meist über die Ableitung. Ist \(D \subseteq \mathbb{R}\) ein abgeschlossenes Intervall und \(f\colon D \to D\) stetig, im Inneren differenzierbar mit \(|f'(x)| \le \lambda < 1\), so liefert der Mittelwertsatz \(|f(x) - f(y)| \le \lambda\,|x - y|\). Im \(\mathbb{R}^n\) braucht man eine abgeschlossene, konvexe Menge \(D\) und eine Schranke \(\|J_f(x)\| \le \lambda < 1\) für die Jacobi-Matrix in einer Matrixnorm; an die Stelle des Mittelwertsatzes tritt die Mittelwertungleichung. Für affine Abbildungen \(f(x) = Ax + b\) heißt das schlicht \(\|A\| < 1\).

Praktische Matrixnormen: die Zeilensummennorm \(\|A\|_\infty = \max_j \sum_k |a_{jk}|\), die Spaltensummennorm \(\|A\|_1 = \max_k \sum_j |a_{jk}|\) und die Spektralnorm \(\|A\|_2 = \sqrt{\text{größter Eigenwert von } A^{\mathsf T}A}\). Es reicht, eine Norm zu finden, in der \(\|A\| < 1\) ist.

\(F(x,y) = 0\) beschreibt eine Kurve. Oft lässt sie sich nicht explizit nach \(y\) auflösen – trotzdem ist \(y\) nahe eines Punktes \((a,b)\) eine Funktion von \(x\), solange die Kurve dort nicht senkrecht steht. Genau das sagt der Satz: Ist \(F\) stetig differenzierbar, \(F(a,b) = 0\) und \(\partial_y F(a,b) \neq 0\), dann gibt es Umgebungen \(U \ni a\), \(V \ni b\) und genau eine Funktion \(g: U \to V\) mit \(F(x, g(x)) = 0\).

Die Ableitung bekommt man, ohne \(g\) zu kennen, durch Ableiten von \(F(x, g(x)) = 0\): \(g'(x) = -\dfrac{\partial_x F(x, g(x))}{\partial_y F(x, g(x))}\).